Neste trabalho faremos uma abordagem básica sobre a teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias no que tange a existência da solução de uma equação escalar de primeira ordem. Para tal, apresentamos as principais definições e exemplos de espaços métricos e abordamos sobre sequências em espaços métricos em especial as de Cauchy, em seguida, fazemos um estudo básico sobre conjuntos compactos e seus principais teoremas e introduzimos o conceito de funções continuas em espaços métricos. Mostramos o teorema de Arzelà Ascolí e demonstramos o teorema de Cauchy-Peano o chamado método da poligonal e por fim fizemos uma aplicação do teorema principal à ecologia.
(2018-06-28) PORTUGAL, Izaque Pantoja; LOBATO, Renato Fabrício Costa
Este trabalho surgiu do resultado da pesquisa de iniciação cientifica do livro do renomado Dr. Luiz Adauto da Justa Medeiros sobre Equações Diferenciais Ordinárias, visto que em seu livro ele faz um estudo qualitativo da equação diferencial escalar x0 = f(t; x), especificamente abordaremos o estudo de unicidade de soluções de uma equação diferencial de primeira ordem de um ponto de vista qualitativo. Para tal exibiremos as definições de solução, e faremos um estudo básico de espaços métricos, com foco em espaços métricos completos e as sequências de Cauchy. Mostramos um pouco da história dos Matemáticos Willian Foog Osgood e Mitio Nagumo e exibimos suas condições de Unicidade para a solução do problema x0 = f(t; x)