Variedades unidimensionais não-hausdorff e folheações do plano

Neste trabalho, abordaremos conceitos fundamentais de topologia geral, variedades e folheações, com o objetivo central de demonstrar o resultado principal apresentado no artigo [3] de André Haefliger e George Reeb. Esse resultado estabelece que o espaço de folhas de uma folheação do plano possui uma estrutura de variedade unidimensional, possivelmente nãoHausdorff. Inicialmente, introduziremos conceitos básicos de topologia geral, com ênfase em topologia quociente, fornecendo exemplos essenciais para o entendimento do tema. Em seguida, explora-se o estudo de variedades topológicas, conceitos como espaço quociente de uma variedade, espaços simplesmente conexos e exemplos focados em variedades unidimensionais. Dedicaremos atenção especial à definição de folheações em uma variedade, agora de Hausdorff, e suas classes de equivalência conhecidas como folhas. Apresentaremos alguns resultados sobre espaço de folhas e exemplos de folheações. Exploraremos a íntima relação entre as folheações do plano e a estrutura de variedades unidimensionais simplesmente conexas. Por fim destacamos como esses resultados revelam uma demonstração do Teorema de Kaplan.