Solução exata e estabilização exponencial para a equação de Allen-Cahn

Neste trabalho estudamos algumas propriedades quantitativas e qualitativas da equação de Allen-Cahn. A equação de Allen-Cahn tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica. Os principais resultados obtidos neste trabalho são: a solução exata, a energia de Ginzburg-Landau G(t) e a propriedade de decaimento exponencial do sistema. A resolução analítica do problema foi obtida pelo método da separação de variáveis graças a uma escolha adequada do coeficiente de reação. Com isto, passamos a considerar um problema um de valor inicial e outro de valor de contorno, os quais são resolvidos. No que diz respeito a estabilização exponencial da energia total, usamos técnicas multiplicativas para encontrarmos a lei de dissipação e a partir daí, aplicamos as desigualdades de Poincaré e de Jensen para construirmos a estimativa de decaimento exponencial.